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单变量微积分(02):Derivatives, Slope, Velocity, and Rate of Change

RonnyYoung 分享于 2015-03-21

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1. 导数的几何意义

函数 f(x) 在点 P 的导数定义为 P 点在函数曲线上的该点切线的斜率。但是如何来准确的求出曲线在该点的切线呢。

有两点要注意:

  • 切线并不是只与曲线只有一个交点的线
  • 它是曲线上另一点逐渐靠近 P 点时,形成的割线斜率的极限。

所以导数的几何定义即为:

Limit of slopes of secant lines PQ as Q→P ( P fixed). The slope of PQ¯¯¯¯¯ :

在我们知道了曲线的导数 f′(x) 后,我们可以求得点 P(x0,y0) 处的切线方程为:

y−y0=f′(x)(x−x0)

一些记号

由于 y=f(x) ,所以我们记:

Δy=Δf=f(x)−f(x0)=f(x+Δx)−f(x0)

差分商的公式可以记为:

ΔyΔx=ΔfΔx

当我们取极限 Δx→0 时,我们得到

ΔyΔx→dydx(Leibniz' notation)
ΔfΔx→f′(x0)(Newton's notation)

当我们谈及函数 f 的导数时,下面的记号是等价的:

dffx,f′,and Df

例:用极限的方法求 xn 的导数

ddxxn=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)n−xnΔx=limΔx→0xn+Cn1xn−1(Δx)+O(Δx2)−xnΔx=limΔx→0Cn1xn−1(Δx)+O(Δx2)Δx=limΔx→0(Cn1xn−1+O(Δx))=nxn−1

2. 导数的物理解释

当我们把导数定义为变化率时就得到了导数的物理意义,比如速度。

MIT的孩子们有一个从楼顶往下扔南瓜的传统,我们假设高度为400M。
南瓜离地面的高度随着时间变化而变化,这个关系可以用下面的函数表示:

y=400−16t2

从上面的关系中,我们首先可以计算南瓜的平均速度:

v¯=ΔyΔt=distance travelledtime elapsed

我们可以知道当南瓜着地的时候 y=400−16t2=0 ,此时 t=5 ,那么平均速度 v¯=400m5sec=80m/s

而实际上我们更关心的是它的瞬时速度,比如南瓜落地时的速度,因为如果速度过快可能会砸死小朋友!
t=5 时的瞬时速度为 y′ :

y′=−32t=−160 m/s
y 是负的因为南瓜的速度向下增长的(不是因为速度方向向下)。

3. 变化率(rate of change)

物理中很多物理量有变化率定义:

  • 电荷的变化率( dqdt )为电流
  • 距离的变化率( dsdt )为速度
  • 温度的变化率( dTdt )为温度梯度

1. 导数的几何意义 函数 f(x) 在点 P 的导数定义为 P 点在函数曲线上的该点切线的斜率。但是如何来准确的求出曲线在该点的切线呢。 有两点要注意: 切线并不是只与曲线只有一个交点的线 它是曲

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