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一文搞懂算法的时间复杂度与空间复杂度

u010402786 分享于 2016-05-17

推荐:算法的复杂度——算法的时间复杂度和空间复杂度

  在一次笔试题目中,发现了自己对于算法的时间复杂度问题上并没有完全清晰这个概念和计算方法,故上网寻找到比较好的详细介绍来学习。 算法的时间复杂度和空间

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一 时间复杂度的概念

  一般情况下,算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一函数f(n),因此,算法的时间复杂度记做 T(n) = O(f(n))。 随着模块n的增大,算法执行的时间增长率f(n)的增长率成正比,所以f(n)越小,算法的时间复杂度越低,算法的效率越高。
  时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)
  
  举个简单的例子:

int value = 0;                    // 执行了1次
for (int i = 0; i < n; i++) {     // 执行了n次
    value += i;
}

  这个算法执行了 1 + n 次,如果n无限大,我们可以把前边的1忽略,也就是说这个算法执行了n次。时间复杂度常用大O符号表示,这个算法的时间复杂度就是O(n)。

二 计算时间复杂度

  1. 计算出基本操作的执行次数T(n)
      基本操作即算法中的每条语句(以;号作为分割),语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时,一般默认为考虑最坏的情况。

  2. 计算出T(n)的数量级
      求T(n)的数量级,只要将T(n)进行如下一些操作:
    忽略常量、低次幂和最高次幂的系数,令f(n)=T(n)的数量级。

  3. 用大O来表示时间复杂度
      当n趋近于无穷大时,如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。
      只保留最高阶项,最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。

用一个例子来表明以上的步骤:

for(i=1;i<=n;++i)
  {
     for(j=1;j<=n;++j)
     {
         c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数:n^2
          for(k=1;k<=n;++k)
               c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数:n^3
     }
  } 

第一步计算基本语句执行次数:T(n)= n^2+n^3;
第二步T(n)的同数量级,我们可以确定 n^3为T(n)的同数量级;
第三步用大O表示时间复杂度:T(n)=O(n^3)。

三 常见的时间复杂度

执行次数函数 阶 名称 3 O(1) 常数阶 2n+3 O(n) 线性阶 3n2+2n+1 O(n2) 平方阶 5log2n+2 O(log2n) 对数阶 2n+3nlog2n+1 O(nlogn) nlog2n阶 6n3+2n2+3n+4 O(n3) 立方阶 2n O(2n) 指数阶

最常见的多项式时间算法复杂度关系为:

推荐:数据结构-算法效率的度量-时间复杂度和空间复杂度

度量算法的效率:时间复杂度、空间复杂度。 时间复杂度,一般情况,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的一个函数f(n),算法的时间度量记做T(n)=O(f(n)),

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3)

指数时间算法复杂度关系为:

O(2n) < O(n!)< O(nn)

举个例子来说明上述的时间复杂度:

i=1;       // 执行次数:1
while (i<=n)
   i=i*2;  
   // 频度为f(n),2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
   // 每次i*2后,距离结束循环更近了。也就是说有多少个2相乘后大于n。
   // 取最大值f(n)=log2n,T(n)=O(log2n )

四 复杂情况的时间复杂度分析

1.并列循环复杂度分析

for (i=1; i<=n; i++)   for (j=1; j<=n; j++)    x++; //O(n2)

2.函数调用的复杂度分析

public void printsum(int count){
    int sum = 1;
    for(int i= 0; i<n; i++){
       sum += i;
    }   
    System.out.print(sum);
}

  记住,只有可运行的语句才会增加时间复杂度,因此,上面方法里的内容除了循环之外,其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
  所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

五 空间复杂度

  空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,记做S(n)=O(f(n))。
  比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了,因为每次递归都要存储返回信息。
  例如关于O(1)的问题, O(1)是说数据规模和临时变量数目无关,并不是说仅仅定义一个临时变量。举例:无论数据规模多大,我都定义100个变量,这就叫做数据规模和临时变量数目无关。就是说空间复杂度是O(1)。

推荐:内部排序算法的稳定性,时间复杂度和空间复杂度

排序算法 时间复杂度: O(n^2)  O(n^2)   O(n^2) 空间复杂度: O(1)    O(1)      O(1) 算法名称:   插入     选择     冒泡   算法名称:   希尔    堆       

一 时间复杂度的概念   一般情况下,算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一函数f(n),因此,算法的时间复杂度记做 T(n) = O(f(n))。 随着模块n的增大,算法执行的时间增长率f(n)的增长率

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